שיטות בפיזיקה עיונית א (4 שש״ס, 4 נק״ז)

דרישות קדם:  חדו״א לפיזיקאים ב׳, אלגברה לינארית לפיזיקאים
 
סוג הקורס: שעור ותרגול
 
נושאי הקורס: 
 
1) מבוא לאנליזה קומפלכסית – המישור המרוכב, פעולות במספרים מרוכבים, הצגה קוטבית, נגזרות במישור המרוכב, פונקציות אנליטיות בתחום, משוואות קושי-רימאן, נקודות סינגולריות (קטבים ונקודות הסתעפות) וחתכים במישור המרוכב, הפונקציות האלמנטריות, מיפויים במישור הקומפלכסי, פיתוחים לטור טיילור וטור לוריין,  אינטגרציית מסלול, משפט קושי (השארית) וחישוב אינטגרלים, המשכה אנליטית.
 
2) משוואה דיפרנציאלית רגילה (מד"ר) –
 
 א) מד"ר מסדר 1: פתרון כללי, פתרון סינגולרי, בעיית תנאי התחלה, בעיית קושי. מד"ר ליניאריות הומוגניות מסדר ראשון,  מד"ר ליניאריות לא-הומוגניות מסדר ראשון: שיטת וריאצית המקדמים. משוואות קלרו, ריקאטי וברנולי. מד"ר לא לינאריות מסדר ראשון – הפרדת משתנים, משוואות מדוייקות, גורם אינטגרציה.  
 
 ב) מד"ר ליניאריות כלליות מסדר 2: מרחב הפתרונות כמרחב ליניארי, תלות לינארית של פונקציות, הוורונסקיאן. מד"ר ליניאריות הומוגניות ואי-הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים. שיטת וריאצית המקדמים. המקרה הכללי: נקודות סינגולריות ומיונן, פתרון ע"י פיתוח בטור חזקות (שיטת פרובניוס), רדיוס התכנסות, הפונקצייה ההיפרגאומטרית. אופרטור דיפרנציאלי ליניארי מסדר שני, צמידות עצמית, בעיית שטורם-ליוביל (המקרה הצמוד-עצמית), וקטורים עצמיים וערכים עצמיים, אוסף אורתונורמלי שלם של פונקציות, אופרטור גרין. דוגמאות: משוואת לז'נדר ופולינומי לז'נדר. משוואת בסל, פונקציות בסל ותכונותיהן. המקרה של מקדמים מחזוריים במשתנה הבלתי תלוי: תורת פלוקה-בלוך (התרכזות במד"ר מסדר 2). משוואת מתייה. יציבות. 
 
 ג) מערכת של n-משוואות לינאריות מסדר ראשון: הפתרון הכללי עבור מקדמים קבועים, הפתרון הכללי הפורמלי עבור מקדמים לא קבועים.
 
3) חשבון וריאציות  – בעיות אקסטרמום רבות משתנים, בעיות אקסטרמה מאולצות, כופלי לגראנז', מושג הפונקציונל. הנגזרת הפונקציונאלית. פונקציונל הפעולה המכאנית ופונקציונל האנרגיה כדוגמאות. פונקציונלים ממקור גאומטרי. עקרון הוריאציה. משוואות הוריאציה.  משוואות אוילר-לגראנז'. פתרון בעיות וריאציה שונות. 
 
מטרות הקורס: 
 
מטרת הקורס היא השלמת ההשכלה המתמטית המינימלית, מעבר לקורסי הבסיס בקורסי החדו"א והאלגברה, הנדרשת כשלעצמה, לשם קבלת תואר בוגר במדעים בכלל, ונדרשת בפרט לצורך לימוד הקורסים הפיזיקליים המתקדמים. 
 
מבנה הקורס: 
 
שעורים ותרגולים
 
חובות הקורס והערכת הסטודנטים: 
 
בחינה מסכמת (100% מהציון הסופי)
 
ביבליוגרפיה:
 
ספרי קורס עיקריים:
 
1) משוואות דיפרנציאליות רגילות – דוד לונדון, מיכלול, הטכניון 
 
2) מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות – האוניברסיטה הפתוחה. 
 
3) C.M. Bender and S.A.  Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Springer Verlag 1999
 
4) G. B.  Arfken and H.J. Weber, ,Mathematical methods for physicists, 5th Ed. (Academic, New York, 2001)
 
5) M. Stone and P. Goldbart, Mathematics for Physics – A Guided Tour for Graduate Students,  Cambridge UP 2009
ספרים נוספים:
 
6) P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of theoretical physics, (McGraw-Hill, New York, 1953), Volume 1, Chapter 3.
 
7) E.A. Coddington and N. Levinson, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Tata-McGraw Hill 1987.
 
8) E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover, 1978.
 
9) W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 10th Edition, Willey 2012. 
 
10) L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory), Course of Theoretical Physics Vol. 3 (3rd Edition) – Mathematical Appendices
 
11) J.W. Brown and R.V. Churchill, Complex Variables and Applications, 8th Edition, McGraw-Hill 2009.