דרישות קדם: אלגברה ליניארית לפיזיקאים, חדו״א לפיזיקאים ב׳, שיטות בפיזיקה עיונית א׳

 

סוג הקורס: שעור ותרגול

 

 

1) טורי פוריה ואינטגרלי פורייה – טורי פורייה (סינוס, קוסינוס ואקספוננט פאזה) לפונקציות מחזוריות, משפט דירישלה. טרנספורם (אינטגרל) פורייה, פונקציית דלתא של דיראק, טרנספורם פורייה ההפוך, טרנספורם פורייה של נגזרת, משפט הקונבולוציה, זהות פרסבל, טרנספורם פורייה רב מימדי. 

 

2) משוואות דיפרנציאליות חלקיות (מד"ח) לינאריות וקוואזי-לינאריות מסדר ראשון: משוואת אוילר עבור זרימה. פתרון בעיית התחלה בשיטת הקווים האופייניים (קרקטריסטיקות). 

 

3) מד"ח לינאריות מסדר שני: המד"ח הקלאסיות השכיחות בפיזיקה: משוואת הגלים (דוגמה למד"ח היפרבולית), משוואות לפלאס ופואסון (דוגמה למד"ח אליפטית), ומשוואת החום או הדיפוזיה ומשוואת שרדינגר (דוגמה למד"ח פרבולית). בעיית תנאי שפה ובעיית תנאי התחלה.

 

4) האופרטורים הדיפרנציאליים (גרדיינט, רוטור, דיברגנץ והלפלאסיאן) בקואורדינטות כדוריות וגליליות.

 

5) הפונקציות המיוחדות המתקבלות מהפרדת המשתנים במערכות הקואורדינטות השונות, הקשר לבעיית שטורם-ליוביל:

•בעיות עם סימטריה כדורית – החלק הזוויתי של הלפלסיאן : פונקציות לז'נדר והרמוניות כדוריות. תזכורת מקורס א' אודות פולינומי לז'נדר. המשוואה הדיפרנציאלית עבור פולינומי לז'נדר, אורתוגונליות ושלמות, יחסי נסיגה, פונקציה יוצרת, הצגה אינטגרלית, התנהגות אסימפטוטית, הרמוניות כדוריות, משפט החיבור של הרמוניות כדוריות, פיתוח מולטיפולי; החלק הרדיאלי של הלפלסיאן – פונקציות בסל כדוריות: טורים, יחסי נסיגה, אורתוגנליות ושלמות, הצגה אינטגרלית, התנהגות אסימפטוטית, טור ריילי לפיתוח גל  מישורי תלת-מימדי בטור של מכפלות פונקציות בסל כדוריות רדיאליות בפונקציות הרמוניות כדוריות.  פתרון לדוגמה של בעיות פיזיקליות עם סימטריה כדורית. 


•בעיות עם סימטריה גלילית – פונקציות בסל. תזכורת מקורס א' על פונקציות בסל. משוואת בסל, פונקציות בסל מסוג ראשון ושני (נוימן) עם אינדקס שלם, אורתוגונליות ושלמות, פונקציה יוצרת, פיתוח בטורים של פונקציות בסל (טור פורייה-בסל), פונקציות בסל (מסוג ראשון ושני) עם אינדקס שאינו שלם או קומפלכסי, פונקציות הנקל מסוג ראשון ושני, הצגה אינטגרלית, התנהגות אסימפטוטית. פונקציות בסל "המותאמות" 


•K ,I. דוגמאות: (פונקציות בסל מסוג ראשון עם אינדקס שלם) עקיפת פראונהופר דרך מפתח מעגלי, פתרון משוואת הגלים  בקואורדינטות גליליות, גלים בממברנה עגולה; פתרון משוואת הדיפוזיה עם סימטריה גלילית.


 

6) פיתוחים אסימפטוטיים

•טורים אסימפטוטיים: הגדרות ומוטיבציה, פיתוח אסימפטוטי עבור פונקציית גאמה ע"י אינטגרציה בחלקים. אינטגרציה בחלקים כשיטה לקבלת טור אסימפטוטי, תרומת איברי השפה.


•שיטת המורד התלול ביותר: קרוב לאינטגרלים במישור המרוכב, איברים מסדר גבוה – טור אסימפטוטי. דוגמאות: קבלת פיתוח אסימפטוטי לפונקציות המיוחדות מהצגתן האינטגרלית (למשל – פונקציות בסל והנקל). פיתוח סטירלינג לפונקציית גאמא. שיטת הפאזה הסטציונרית.


•שיטת לפלאס לחישוב התנהגות אסימפטוטית של אינטגרלים על הציר הממשי.


•קירוב WKB כקירוב אסימפטוטי: פיתוח הטור האסימפטוטי  עבור מד"ר הומוגנית מסדר שני, פתרון בעיות תנאי התחלה ותנאי שפה, שימוש עבור משוואת שרדינגר הבלתי תלוייה בזמן במימד אחד, פונקציית איירי, נוסחאות הקשר במכניקת הקוונטים.


 

 

מטרת הקורס היא השלמת ההשכלה המתמטית המינימלית, מעבר לקורסי הבסיס בקורסי החדו"א והאלגברה, הנדרשת כשלעצמה, לשם קבלת תואר בוגר במדעים בכלל, ונדרשת בפרט לצורך לימוד הקורסים הפיזיקליים המתקדמים. 

 

 

שעורים ותרגולים

 

 

בחינה מסכמת (100% מהציון הסופי)

 

 

1) C.M. Bender and S.A.  Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Springer Verlag 1999

 

2) G. B.  Arfken and H.J. Weber, ,Mathematical methods for physicists, 5th Ed. (Academic, New York, 2001)

 

3) M. Stone and P. Goldbart, Mathematics for Physics – A Guided Tour for Graduate Students,  Cambridge UP 2009

 

ספרים נוספים:

 

4) A. Sommerfeld, Partial differential equations in physics (Academic, New York, 1949) 

P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of theoretical physics, (McGraw-Hill, New York, 1953), Volume 1

 

5) P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of theoretical physics, (McGraw-Hill, New York, 1953), Volume 2

 

6) L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory), Course of Theoretical Physics Vol. 3 (3rd Edition) – Mathematical Appendices

 

7) E.T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis 4th ed., Cambridge, 1963 

 

7) F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert and C.W. Clark (Editors), NIST Handbook of Mathematical Functions, NIST and Cambridge UP 2010. 

 

8) E. T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge, 1965

 

9) F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert and C.W. Clark (Editors), NIST Handbook of Mathematical Functions, NIST and Cambridge UP 2010.

 

10) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F.G. Tricomi (Editors),  Higher Transcendental Functions (The Bateman Manuscript Project), Volumes 1-3, California Institute of Technology 1981.

 

11) M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions, (Dover, New York, 1970) 

12) J.W. Brown and R.V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems, 5th ed., McGraw-Hill 1993